射影定理的三个公式推导过程及使用条件

现在的初中课本上并没有射影定理，但是很多老师都会额外讲一下，很多同学都有这样一种感觉：当时明明记住结论了，但是过几天就搞不清楚到底是谁的平方等于谁乘谁了，那怎样才能准确地记住射影定理，再也忘不掉呢？其实只需要一句口诀。

一、射影定理

如图，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，则有如下结论：

①AC²=AD·AB

②BC²=BD·AB

③CD²=AD·BD

这三个结论就叫做射影定理。

二、助记口诀

树平方=影乘积

把AC看作树，光线沿CD方向照射的影子是AD，光线沿CB方向照射的影子是AB；

把BC看作树，光线沿CD方向照射的影子是BD，光线沿CA方向照射的影子是AB；

把CD看作树，光线沿CA方向照射的影子是AD，光线沿CB方向照射的影子是BD.

三、证明

三个结论都可以通过相似来证明，图中的三个三角形都彼此相似，任意两个相似三角形可得出一个结论，共3个结论。

证明：

①∵∠CDA=∠BCA=90°，∠A=∠A

∴△CAD∽△BAC

∴AC/AB=AD/AC

∴AC²=AD·AB.

②∵∠BDC=∠BCA=90°，∠B=∠B

∴△BCD∽△BAC

∴BC/AB=BD/BC

∴BC²=BD·AB

③∵∠ACD+∠BCD=90°，∠CBD+∠BCD=90°

∴∠ACD=∠CBD，又∵∠CDA=∠BDC=90°

∴△CAD∽△BCD

∴CD/BD=AD/CD

∴CD²=AD·BD